Théorie des cordes

La théorie des cordes est l’une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une description de la gravité quantique c’est-à-dire l’unification de la mécanique quantique (inévitable pour décrire la physique aux petites échelles) et de la théorie de la relativité générale (nécessaire pour décrire la gravitation de manière relativiste). La principale particularité de la théorie des cordes est que son ambition ne s’arrête pas à cette réconciliation, mais qu’elle prétend réussir à unifier les quatre interactions élémentaires connues, on parle de théorie du tout, tout en reposant sur deux hypothèses assez révolutionnaires :

Les briques fondamentales de l’Univers ne seraient pas des particules ponctuelles mais des sortes de cordelettes vibrantes possédant une tension à la manière d’un élastique. Ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques distinctes (masse, charge électrique, etc) ne seraient que des cordes vibrant différemment. Avec cette hypothèse, les théories des cordes admettent une échelle minimale, reliée à la taille de Planck, et permettent ainsi d’éviter facilement l’apparition de certaines quantités infinies (on parle de « divergences » qui sont inévitables dans les théories quantiques de champs habituelles.
L’univers contiendrait plus de trois dimensions spatiales. Certaines d’entre elles, repliées sur elles-mêmes, passant inaperçues à nos échelles (par une procédure appelée réduction dimensionnelle).
La théorie des cordes a obtenu des premiers résultats partiels très prometteurs. Dans le cadre de la thermodynamique des trous noirs elle permet de reproduire la formule de Bekenstein et Hawking pour l’entropie des trous noirs. Elle possède également une richesse mathématique remarquable : en particulier elle a permis de découvrir la symétrie miroir en géométrie.

Toutefois la théorie des cordes reste incomplète. D’une part, une multitude de solutions aux équations de la théorie des cordes existe, ce qui pose un problème de sélection de notre univers et, d’autre part, même si beaucoup de modèles voisins ont pu être obtenus, aucun d’entre eux ne permet de rendre compte précisément du modèle standard de la physique des particules.

Bien que différentes formulations indépendantes (cf ci-dessous) aient été développées dans les années 1980, les résultats de dualité de cordes obtenus dans les années 1990 ont permis d’envisager que toutes les théories précédemment construites ne sont elles-mêmes que différentes limites d’une théorie unique plus fondamentale, baptisée théorie M, dont la formulation microscopique reste inconnue[1] mais dont la théorie effective de basse énergie est la supergravité maximale à 11 dimensions, soit une de plus que la dimension critique des théories de supercordes.

Genèse, une première tentative infructueuse

La théorie des cordes a d’abord été introduite comme tentative de description de l’interaction forte mais ses prédictions étaient en désaccord avec les observations expérimentales. Elle fut donc vite abandonnée au profit de la chromodynamique quantique (abrégée en QCD).

La première révolution des cordes

Voir l’article première révolution des cordes.
En 1984, par une prouesse technique remarquable, Michael B. Green et John H. Schwarz démontrent l’absence d’anomalies de jauge ou gravitationnelle dans la théorie de cordes de type I qui est une théorie chirale de même que le modèle standard. Ce travail offre pour la première fois la perspective d’obtenir une phénoménologie réaliste à partir de cordes. L’impact a été si important dans la communauté de la physique théorique que le terme de révolution a été adopté pour décrire la période de développement très rapide qui s’en est suivie.

La seconde révolution des cordes

Voir l’article seconde révolution des cordes.
Au milieu des années 1990, un grand nombre de ponts ou dualités sont découverts entre les différentes théories de cordes. En 1995 le physicien Edward Witten suggère que ces dualités sont la contrepartie de l’existence d’une théorie plus fondamentale, appelée théorie M réunissant de façon continue les différentes théories des cordes qui sont alors obtenues dans certaines limites de son espace des paramètres (appelé espace de modules). Cette période d’intense activité dans le domaine lui a valu le nom de seconde révolution des cordes.

Développements actuels

Plusieurs

La correspondance AdS/CFT

En 1997, Juan Maldacena propose une conjecture, appelée correspondance AdS/CFT qui affirme, dans sa forme la plus générale, l’équivalence complète entre une certaine théorie de jauge, la théorie de super Yang-Mills avec supersymétrie étendue N = 4 et la théorie des cordes de type IIb sur l’espace .

À ce jour (2006) la correspondance AdS/CFT n’a pas été démontrée mais un très grand nombre de tests très non-triviauxréf. nécessaire ont été effectués où la conjecture a toujours été vérifiée avec une grande précision. Ces tests consistent la plupart du temps en deux calculs effectués indépendamment dans le cadre de la théorie de jauge d’une part et dans le cadre de la théorie des cordes d’autre part et en une comparaison des deux résultats.

Cette conjecture est remarquable dans la mesure où elle établit une relation naturelle entre une théorie de jauge, par nature non-gravitationnelle, et une théorie de la gravité quantique ce qui va dans le sens d’une intuition formulée depuis longtemps par le physicien Gerard ‘t Hooftréf. nécessaire.

Par ailleurs la correspondance AdS/CFT constitue une réalisation du principe holographique dans la mesure où l’espace sur lequel vit la théorie de super-Yang Mills est situé au bord de l’espace sur lequel est défini la théorie IIb. Comme cet espace correspond à la géométrie effective au voisinage de l’horizon de certains trous noirs, la correspondance AdS/CFT peut-être utilisée pour analyser en détail l’entropie de ce type de trous noirsréf. nécessaire.

Les transitions géométriques

Inspirés par les succès de la conjecture AdS/CFT mais devant la difficulté à démontrer cette dernière, un certain nombre de travaux ont été initiés aboutissant à des équivalences entre des théories de jauge topologiques, intrinsèquement plus simples que la théorie de super Yang-Mills, et des modèles de théorie des cordes topologiques, eux aussi plus simples que les théories des supercordes usuelles.

L’un des exemples les plus connus d’une telle équivalence est la transition géométrique de Gopakumar/Vafaréf. nécessaire au cours de laquelle la théorie de Chern-Simons avec groupe de jauge SU(N) formulée sur la sphère à trois dimensions S3 est équivalente dans la limite à la théorie des cordes topologiques de type A sur le conifold résolu qui est un espace de Calabi-Yau noté mathématiquement .

Les avatars topologiques de la correspondance AdS/CFT présentent deux avantages pratiques par rapport à cette dernière

D’une part ils sont relativement plus simples à prouver : les théories de cordes topologiques étant naturellement reliées à l’évaluation d’invariants topologiques des espaces sur lesquelles elles sont formulées, les prédicitions issues de la théorie de jauge topologique peuvent être soumises à une analyse minutieuse de la part des mathématiciens.
Par ailleurs, un certain nombre de travauxréf. nécessaire ont pu montrer que certaines observables des théories effectives des théories de supercordes standards peuvent être calculées en utilisant des théories de corde topologiques. De cette manière il est alors possible d’effectuer une relation entre une théorie de jauge topologique et une théorie de jauge standard. Un exemple célèbre est la correspondance de Dijkgraaf/Vafa qui établit de cette manière une relation entre la théorie effective non-perturbative d’une théorie de Yangs-Mills supersymétrique N = 1 et une théorie de matrices aléatoires. La correspondance, qui au final est formulée uniquement dans un contexte de théories de jauge, a pu être par la suite démontrée complètementréf. nécessaire en utilisant uniquement les outils de la théorie quantique des champs. Ce dernier exemple illustre comment la théorie des cordes pourrait être utile d’un point de vue formel à la compréhension des aspects non-perturbatifs des théories de jauges quand bien même elle pourrait faillir d’un point de vue phénoménologique à décrire notre univers.

Le Landscape

Les théories des cordes admettent un grand nombre de solutions à leurs équations qui sont autant d’univers cohérents du point de vue de ces théories. Face à cette multitude, deux positions existent dans la communauté des scientifiques travaillant dans ce domaine

La position orthodoxe consiste à considérer que cette multitude pose un problème de prédictivité de la théorie. Néanmoins cette multitude serait issue d’un manque de contrôle sur les phénomènes non-perturbatifs existant dans la théorie et qu’une meilleure compréhension de ceux-ci devrait aboutir à l’élimination naturelle d’un grand nombre de solution pour ne laisser émerger en définitive que quelques modèles en accord avec les observations actuelles.
Un nouveau point de vue, initié par les travaux de Michael Douglas considère qu’il est possible qu’intrinsèquement la théorie des cordes admette un grand nombre de solutions distinctes mais que dans cet ensemble de solutions certaines caractéristiques génériques soient statistiquement plus probables. Par exemple, un grand nombre de travaux cherchent à déterminer si la faiblesse de la constante cosmologique est statistiquement favorisée, ou encore si le groupe de jauge du modèle standard serait privilégié par rapport à des groupes de jauge de dimension plus élevée. La principale critique formulée par le courant orthodoxe à l’encontre de cette position concerne la difficulté à définir une loi de probabilité sur l’ensemble des solutions en l’absence de principe premier physiquement motivé.

Les différentes théories des cordes

Il existe plusieurs théories des cordes :

La théorie bosonique des cordes à 26 dimensions. C’est la théorie des cordes la plus simple. La formulation de la théorie sur sa feuille d’univers ne contient que des bosons d’où son nom. Elle contient un tachyon (particule hypothétique dont l’énergie est mesurée par un nombre imaginaire pur tandis que la masse, par un nombre réel), ce qui est une indication que la théorie est instable, et donc impropre à décrire la réalité. Elle est toutefois utile pédagogiquement pour se familiariser avec les concepts fondamentaux que l’on retrouve dans des modèles plus réalistes. En particulier au niveau de masse nulle elle fait apparaître le graviton. Elle admet des cordes ouvertes ou fermées.
Cinq théories des supercordes à 10 dimensions, qui ne possèdent pas de tachyons et qui supposent l’existence d’une supersymétrie sur la feuille d’univers des cordes aboutissent à l’existence de supersymétries dans l’espace-cible :
I : cordes ouvertes ou fermées, groupe de symétrie SO(32)
IIA : cordes fermées uniquement, non-chiralité
IIB : cordes fermées uniquement, chiralité
HO : cordes fermées uniquement, hétérodicité, groupe de symétrie SO(32)
HE : cordes fermées uniquement, hétérodicité, groupe de symétrie E8×E8
La théorie M, aboutissement de ces théories
Les théories des supercordes se distinguent de la première par l’existence d’une symétrie supplémentaire, la supersymétrie, laquelle s’est avérée nécessaire lorsque l’on a souhaité incorporer les fermions (la matière) dans la théorie bosonique des cordes.

Il semblerait que ces cinq théories soient différentes limites d’une théorie encore mal connue, reposant sur un espace à 11 dimensions (10 spatiales et une temporelle), appelée théorie M, laquelle admettrait la supergravité maximale développée dans les années 1970 comme théorie effective de basse énergie. Cette hypothèse a été proposée par Horava et Witten dans les années 1990 et a amené l’introduction d’autres objets étendus en plus des cordes. On parle de p-branes, p étant un entier qui indique le nombre de dimensions spatiales de l’objet en question. Elles sont décrites perturbativement comme les sous-espaces sur lesquels vivent les extrémités de cordes ouvertes. L’étude du spectre montre que des D1, D3, D5, D7 et D9 branes peuvent être incorporées dans un espace-cible décrit par la théorie IIB tandis que dans un espace où vivent des cordes de type IIA on peut introduire des branes de type D0, D2, D4, D6 et D8. Notons que les D1 ont le même nombre de dimensions qu’une corde fondamentale (notée usuellement F1). Bien qu’étant deux objets distincts, une symétrie non-perturbative de la théorie IIB, appelée S-dualite, qui a subi un nombre important de vérifications indirectes, possède la propriété d’échanger D1 brane avec la F1.

Les Branes

Une brane, ou plus exactement, une p-brane est un objet étendu en théorie des cordes. Le p est le nombre de dimensions spatiales dans laquelle la brane à des extensions. Il faut rajouter à ce nombre 1 dimension temporelle pour obtenir le nombre de dimensions totales. Par exemple, une 1-brane est une brane à une seule dimension spatiale mais deux dimensions au totale. Elles correspondent donc à des surfaces d’univers. Une 2-brane est une brane à une dimension temporelle et deux dimensions spatiales.

Cosmologie branaire

Plusieurs modèles cosmologiques ont émergé de l’introduction des branes en théorie des cordes. L’idée générale de la cosmologie branaire est que notre univers serait confiné sur une 4-brane. Ceci signifie que les particules de matière (quarks, électrons, etc…) et les interactions fondamentales autres que la gravitation (transportées par les particules telles le photon, le gluon, etc…) ne sont autorisés à se déplacer qu’à l’intérieur de la brane tandis que la gravitation a la possibilité de se déplacer également dans l’espace-temps complet (on dit aussi le bulk en anglais) dont la brane ne représente qu’un sous-espace.

Par ailleurs dans le cadre du modèle du Big Bang une idée à été introduite récemment comme alternative à l’inflation cosmique pour décrire les tous premiers instants de l’histoire de l’univers, le modèle ekpyrotique. Dans ce modèle, l’expansion initiale est due à la collision d’une brane et d’une anti-brane, ce libère l’énergie nécessaire à l’expansion de l’univers. Ce modèle laisse ouverte la possibilité d’autre collisions ce qui entraînerait d’autres Big Bang. Néanmoins ce modèle n’a pas suscité l’unanimité au sein de la communauté des cosmologistes et l’inflation cosmique reste le mécanisme principalement considéré pour décrire les premiers instants.

Surface d’univers

La surface d’univers est la surface couverte par le mouvement d’une corde. Elle est, plus exactement, une 1-brane.

Des dimensions supplémentaires

Voir les articles Théorie de Kaluza-Klein, Réduction dimensionnelle et Dimensions enroulées.
Selon la théorie de Kaluza-Klein, notre monde, apparemment tridimensionnel, serait non pas constitué de trois dimensions spatiales, mais de 10, 11 , ou même 26 dimensions[2]. Et que sans ces dimensions supplémentaires, la théorie des cordes s’écroule. La raison pour laquelle elles sont invisibles, est qu’elles seraient enroulées soit par le procédé de la réduction dimensionnelle, soit qu’elles l’étaient dès le big-bang.

Théorie M

La théorie M, alliée à la supergravité à onze dimensions, est l’aboutissement des cinq théories des cordes. Cette théorie semble bien être la théorie de tout. Elle a été découverte par Edward Witten, en 1995. Lors de la conférence Strings’95, Il démontra que si on élevait la constante de couplage de la corde Hétérotique E, d’un nombre négatif, à un nombre positif, cela mettait en évidence la supergravité[3]

La constante de couplage des cordes

Lorsque la constante de couplage gs augmente, les surfaces d’univers contribuant significativement aux interactions sont de plus en plus compliquées. On a illustré ici une surface de genre 4.En théorie des cordes, la constante de couplage est un nombre positif qui détermine la probabilité avec laquelle deux cordes peuvent se fondre en une, puis se re-séparer. C’est grâce à cette notion que la Théorie M fut découverte.

Supersymétrie

La supersymétrie est une symétrie en physique des particules. Elle établit un lien très solide entre les particules dotées d’un spin entier, et celles dotées d’un spin demi-entier. Dans ce contexte, les fermions sont associés à un autre type de particule : le superpartenaire. Les superpartenaires sont des grosses particules en tout point identiques à leur associé, sauf au niveau du spin : celui du superpartenaire diffère d’une demi-unité.

Supergravité

La supergravité est une théorie qui allie la supersymétrie à la relativité générale. Son fonctionnement est donc basé sur 11 dimensions.

Prédictions des théories des cordes

Le graviton, boson (i.e. médiateur) de la gravitation serait une particule de spin 2 et de masse nulle (conformément à la physique quantique). Sa corde a une amplitude d’ondes nulles.
Il n’y a pas de différences mesurables entre des cordes qui s’enroulent autour d’une dimension et celles qui se déplacent dans les dimensions (i.e., les effets dans une dimension de taille R sont les mêmes que dans une dimension de taille 1/R).

Problèmes avec les théories des cordes

Irréfutabilité (controverse)
Selon Wolfgang Pauli, une théorie des cordes ne peut même pas être fausse. De plus, on ne sait pas s’il sera possible d’effectuer des expérimentations sur les dimensions supplémentaires de l’Univers.

Il faut cependant noter que récemment des hypothèses ont été élaborées pour vérifier la théorie des cordes [1].
Indépendance de la géométrie de fond
La théorie des cordes est actuellement décrite comme une théorie semi-classique. C’est-à-dire que considérant un environnement (géométrie de fond plus matière éventuelle) fixé, la formulation comme modèle sigma permet de trouver et d’étudier les excitations des cordes seulement au voisinage de cette géométrie. Un analogue en mécanique quantique de cette situation est l’étude de l’atome d’hydrogène baignant dans un champ électrique de fond (ce qui permet par exemple d’étudier l’émission spontanée mais pas stimulée).

Un certain nombre de points sont cependant à noter :

– L’invariance par difféomorphismes de l’espace cible fait partie des symétries de la théorie.
– Pour la consistance quantique de la théorie, l’environnement doit satisfaire aux équations de la relativité générale.
– Parmi les excitations de la corde on trouve une particule, le graviton, qui possède les nombres quantiques nécessaires à la description d’une métrique générale comme état cohérent de gravitons.
– Les états de la théorie sont des fonctions d’onde correspondant à un nombre fixé de cordes.
Les deux premiers points montrent que la théorie est parfaitement compatible avec la relativité générale. Le deuxième point est analogue dans le cas de l’atome d’hydrogène avec la nécessité pour le champ de fond de satisfaire aux équations de Maxwell. Afin de se libérer de ces contraintes sur l’environnement, et par analogie avec la seconde quantification dans le cas des particules qui aboutit à la théorie quantique des champs, il est donc désirable de posséder une théorie de champs de cordes qui correspond à la quantification de ces fonctions d’ondes de cordes. Cette formulation existe mais les complications techniques dues à la nature étendue des cordes rendent la recherche de solutions exactes à ses équations extrêmement difficile mathématiquement, et donc son impact sur les développements en théorie des cordes est encore limité par comparaison à l’impact qu’a eu la théorie quantique des champs en physique des particules.

Notons finalement qu’en gravitation quantique à boucles qui est un autre candidat à une description quantique de la gravité (mais qui ne permet pas d’incorporer des champs de matière cependant) la formulation de la théorie est explicitement indépendante de la géométrie de fond mais il n’est pas encore établi qu’elle respecte l’invariance de Lorentz.

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